tecnicas de conteo
Definición de Técnicas de
conteo en probabilidad
Las Técnicas
de conteo son
utilizadas en Probabilidad y Estadística para determinar el número total de
resultados. En este artículo analizamos: Principio de multiplicación, regla
factorial, permutaciones, permutación circular y permutaciones con
repeticiones.
Por ejemplo, si para
ganar una lotería se requiere elegir 5 números enteros diferentes entre 1 y 39,
la probabilidad de ganar esa lotería es de 1 sobre el número de distintas
formas de seleccionar 5 números de 39. Las Técnicas de conteo nos permiten
obtener esa cantidad.
Técnicas de conteo
Principio de multiplicación
Si un evento E puede
ocurrir de m formas, e independiente de este evento un
evento F puede ocurrir de n formas,
entonces los eventos juntos pueden ocurrir un total de m x n formas.
Ejemplo: Menú en restaurant
Supongamos que un restaurant ofrece 4
entradas, 5 platos principales y 2 postres. ¿De cuántas formas un cliente puede
ordenar una comida?
Respuesta: Se aplica el principio de multiplicación,
por lo tanto hay 4 x 5 x 2 formas diferentes de ordenar una comida: 40 formas.
Enlace
Regla factorial
Una colección de n elementos
distintos se pueden acomodar de n! formas diferentes.
Es decir, el primer elemento se puede seleccionar de n maneras
distintas, el segundo de n-1 maneras, y así
sucesivamente.
Ejemplo: Mesa de honor
Se requiere acomodar a 8 personas en una
mesa de honor y se le solicita que haga un listado de las diferentes formas de
ordenar a las personas. Antes de aceptar la tarea decide investigar cuántas
formas diferentes existen.
Respuesta: Se aplica la regla factorial. Para el
primer puesto hay 8 opciones, para el segundo, 7, para el tercero 6, y así
sucesivamente. Entonces hay 8! Formas de acomodar a las personas: 40320. (No
sería sencillo tratar de hacer la lista completa).
Ejemplo: Niños y niñas
Una familia tiene 3 niños y 2 niñas. ¿De
cuántas formas pueden sentarse en una fila? ¿Cuántas formas hay si los niños
desean sentarse separados de las niñas?
Respuesta: Hay 5! formas de sentarse: 120.
Si desean sentarse separados, hay 2
formas de distribuirlos: HHHMM y MMHHH y en cada caso los niños pueden sentarse
de 3! formas diferentes y las niñas de 2! Por lo que hay 3! x 2! x 2! formas:
24 formas.
Ejemplo: Mesa circular.
Encuentre el número de formas en las que
7 personas pueden organizarse alrededor de una mesa circular.
Respuesta: Una persona puede sentarse en
cualquier lugar de una mesa circular. Las otras 6 personas pueden organizarse
en 6! formas. Este es un ejemplo de permutación circular. N objetos
pueden ordenarse en un círculo en (n-1)! formas.
Permutaciones
Se le llama permutación a
cualquier ordenamiento de un conjunto de n objetos en
un orden dato. Un ordenamiento de r de estos objetos se
denomina permutación r o permutación de n
objetos tomados r a la vez.
La siguiente fórmula aplica…
·
Si existen n elementos diferentes disponibles. (No
aplica si algunos elementos son iguales)
·
Se selecciona r de los n elementos
·
Los reordenamientos de los mismos elementos se consideran secuencias
diferentes
_{n}P_{r} = \frac {n!}
{(n-r)!}nPr=(n−r)!n!
Ejemplo: 4 sitios
disponibles
¿De cuántas maneras pueden sentarse 10
personas en un banco si hay 4 sitios disponibles?
Respuesta
_{10}P_{4}
= \frac {10!}{(10-4)!}10P4=(10−4)!10!
= 10 x 9 x 8 x 7 =
5040 maneras.
Ejemplo: 3 premios
En una clase de 10
alumnos se van a distribuir 3 premios. ¿De cuántas formas puede hacerse si los
premios son diferentes?
Repuesta: \frac{10!}{(10-3)!}(10−3)!10!
= 10 x 9 x 8 = 720
formas
Permutaciones con
repeticiones
Cuando se desea conocer el número de
permutaciones de un conjunto de objetos, algunos de los cuales son iguales.
La siguiente fórmula aplica cuando…
·
Existen n elementos disponibles, y algunos de ellos
son idénticos a otros
·
Seleccionamos todos los n elementos (sin reemplazo)
·
Consideramos que los reordenamientos son secuencias diferentes.
=\frac{n!}{n1!
n2! ... nk!}=n1!n2!...nk!n!
Ejemplo: Señales con banderas
En un barco se
pueden izar 3 banderas rojas, 2 azules y 4 verdes. ¿Cuántas señales distintas
pueden indicarse con la colocación de las 9 banderas?
Respuesta:
\frac {9!} {3! 2! 4!}3!2!4!9! = 1260 señales diferentes.
Ejemplo: Sociological
Utilizando las letras de la palabra SOCIOLOGICAL,
¿cuántas permutaciones distintas pueden formarse?
Respuesta: Hay 12 letras en la palabra,
y 3 de ellas son O, 2 son C, 2 son I, y 2 son L.
Por lo que hay \frac {12!} {3! 2! 2!}3!2!2!12! Formas.
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